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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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9. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
d) $f(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}$

Respuesta

Bueno, vamos por partes.. Preparate el mate o un café porque es un poquito largo. ¡Vamos!
1. Calculemos el dominio de la función

\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con $x$, tal como vimos en el video de dominio de funciones.
$ x^2 - 2x = 0 $
Factorizando por factor común, obtenemos:
$ x(x - 2) = 0 $
\( x = 0 \) y \( x = 2 \). 

  
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0, 2\} $
Sí, ya sé, capaz voy despejaste la $x$ y te dio lo mismo, está bien, es otra forma de hacerlo 😊



2. Hallamos la derivada de la función
  
$ f(x) = \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} $
 
$ f'(x) = \frac{(-3)(x^2 - 2x) - (8 - 3x)(2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} $
 
$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - (16x - 16 - 6x^2 + 6x)}{(x^2 - 2x)^2} $
$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - 16x + 16 + 6x^2 - 6x}{(x^2 - 2x)^2} $
$ f'(x) = \frac{3x^2 - 16x + 16}{(x^2 - 2x)^2} $


3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El $ \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re$. No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
 
Igualamos la derivada a cero:
$ 3x^2 - 16x + 16 = 0 $

$ x_1 = 4 $
$ x_2 = \frac{4}{3} $
  


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
  
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 16(-1) + 16}{((-1)^2 - 2(-1))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, \frac{4}{3}) \): \( f'(1) = \frac{3(1)^2 - 16(1) + 16}{((1)^2 - 2(1))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (\frac{4}{3}, 2) \): \( f'(1,5) = \frac{3(1,5)^2 - 16(1,5) + 16}{((1,5)^2 - 2(1,5))^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.

-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, 4) \): \( f'(3) = \frac{3(3)^2 - 16(3) + 16}{((3)^2 - 2(3))^2} < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.


-> Para \( x \) en Intervalo \( (4, +\infty) \): \( f'(6) = \frac{3(6)^2 - 16(6) + 16}{((6)^2 - 2(6))^2} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = \frac{4}{3} \) y  \( x =4 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = \frac{4}{3} \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.


-> \( x = 4 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximos y del mínimo sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8 - 3\left(\frac{4}{3}\right)}{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)} = \frac{8 - 4}{\frac{16}{9} - \frac{8}{3}} = \frac{4}{\frac{16}{9} - \frac{24}{9}} = \frac{4}{\frac{-8}{9}} = -\frac{9}{2} $

$f(4)= \frac{8-3.4}{4^{2}-2.4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$





6. Asíntotas
6.1 Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 0 \) y en \( x = 2 \) ya que la función no está definida en esos puntos y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 0 y 2. 

$ \lim_{x \to 0} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} =  \lim_{x \to 0} \frac{8 - (\rightarrow 0)}{ \rightarrow 0} = \infty $


$ \lim_{x \to 2} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} =  \lim_{x \to 0} \frac{\rightarrow 2}{ \rightarrow 0} = \infty $


Hay asíntota vertical en $x=0$ y en $x=2$


6.2 Asíntota horizontal:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0 $
Por lo tanto, la asíntota horizontal es \( y = 0 \).


Respuesta: Dominio: \( \mathbb{R} - \{0, 2\} \)

Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3})  \cup (4, +\infty) \)

Intervalo de decrecimiento: \( (\frac{4}{3}, 2) \cup (2, 4) \)

Asíntota vertical: \( x = 0 \) y \( x = 2 \)

Asíntota horizontal: \( y = 0 \)

Máximo relativo en \( x = \frac{4}{3} \) con coordenada \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{9}{2}\right) \)

Máximo relativo en \( x = 4 \) con coordenada \( \left(4, -\frac{1}{2}\right) \)




El gráfico quedaría así:


2024-05-27%2012:53:57_1341313.png
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Avatar Magdalena 9 de junio 16:40
holaa, yo cuando planteo el limite de la av en 0, me da 8, no me tendria que dar 0?



Avatar Julieta Profesor 10 de junio 14:43
@Magdalena Hola magda! Te tiene que dar cero sí, subime foto de lo que estás haciendo o revisá las cuentas a ver dónde está el error.
Avatar Magdalena 11 de junio 12:58
@Julieta ahi creo q esta, me daba un numero sobre cero, entonces quedaria infinito, esta bien?
Avatar Candelaria 1 de noviembre 14:26
El dominio siempre tiene que ser igual a 0? Tenía entendido que a ces es distinto de 0 y no recuerdo cuales eran las reglas para eso
Avatar Julieta Profesor 8 de noviembre 09:39
@Candelaria Hola! Miralas en el video de dominio de funciones que es super importantes que las sepas bien
Avatar Milagros 26 de octubre 17:17
Por qué la ah da cero? Hago rl limite pero no me da eso
Avatar Julieta Profesor 30 de octubre 15:59
@Milagros Hola! Te queda primero una indeterminación y la tenés que salvar tal como vemos en el video de limites cuando x tiende a infinito
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