Resolución ejercicio 9 subitem d de Práctica 5 - Derivadas de Matemática 51 UBA XXI Cátedra Gutierrez (Única)

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MATEMÁTICA 51 CBC

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Práctica 5 - Derivadas

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9. Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.

d) $f(x)=\frac{8-3 x}{x^{2}-2 x}$

Respuesta

Bueno, vamos por partes.. Preparate el mate o un café porque es un poquito largo. ¡Vamos!

1. Calculemos el dominio de la función

$ f(x) $ no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con $x$, tal como vimos en el video de dominio de funciones.

$ x^2 - 2x = 0 $

Factorizando por factor común, obtenemos:

$ x(x - 2) = 0 $

$ x = 0 $ y $ x = 2 $.

$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0, 2\} $

Sí, ya sé, capaz voy despejaste la $x$ y te dio lo mismo, está bien, es otra forma de hacerlo 😊

2. Hallamos la derivada de la función

$ f(x) = \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} $

$ f'(x) = \frac{(-3)(x^2 - 2x) - (8 - 3x)(2x - 2)}{(x^2 - 2x)^2} $

$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - (16x - 16 - 6x^2 + 6x)}{(x^2 - 2x)^2} $

$ f'(x) = \frac{-3x^2 + 6x - 16x + 16 + 6x^2 - 6x}{(x^2 - 2x)^2} $

$ f'(x) = \frac{3x^2 - 16x + 16}{(x^2 - 2x)^2} $

3. Buscamos los puntos críticos:

3.1. Buscamos los valores del dominio de $ f $ donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:

El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \Re). No obtuvimos puntos críticos de acá.

3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:

Igualamos la derivada a cero:

$ 3x^2 - 16x + 16 = 0 $

$ x_1 = 4 $

$ x_2 = \frac{4}{3} $

4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Evaluamos la derivada $ f'(x) $ en cada intervalo:

-> Para $ x $ en Intervalo $ (-\infty, 0) $: $ f'(-1) = \frac{3(-1)^2 - 16(-1) + 16}{((-1)^2 - 2(-1))^2} > 0 $. Es decir que $ f $ crece.

-> Para $ x $ en Intervalo $ (0, \frac{4}{3}) $: $ f'(1) = \frac{3(1)^2 - 16(1) + 16}{((1)^2 - 2(1))^2} > 0 $. Es decir que $ f $ crece.

-> Para $ x $ en Intervalo $ (\frac{4}{3}, 2) $: $ f'(1,5) = \frac{3(1,5)^2 - 16(1,5) + 16}{((1,5)^2 - 2(1,5))^2} < 0 $. Es decir que $ f $ decrece.

-> Para $ x $ en Intervalo $ (2, 4) $: $ f'(3) = \frac{3(3)^2 - 16(3) + 16}{((3)^2 - 2(3))^2} < 0 $. Es decir que $ f $ decrece.

-> Para $ x $ en Intervalo $ (4, +\infty) $: $ f'(6) = \frac{3(6)^2 - 16(6) + 16}{((6)^2 - 2(6))^2} > 0 $. Es decir que $ f $ crece.

5. Evaluamos los máximos y mínimos

Los puntos $ x = \frac{4}{3} $ y $ x =4 $ son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:

-> $ x = \frac{4}{3} $: Es un máximo relativo ya que $ f'(x) $ pasa de positivo a negativo.

-> $ x = 4 $: Es un mínimo relativo ya que $ f'(x) $ pasa de negativo a positivo.

Podemos hallar las coordenadas del máximos y del mínimo sustituyendo los valores de $x$ en la función $ f(x) $:

$ f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8 - 3\left(\frac{4}{3}\right)}{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)} = \frac{8 - 4}{\frac{16}{9} - \frac{8}{3}} = \frac{4}{\frac{16}{9} - \frac{24}{9}} = \frac{4}{\frac{-8}{9}} = -\frac{9}{2} $

$f(4)= \frac{8-3.4}{4^{2}-2.4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

6. Asíntotas

6.1 Asíntota vertical:

Hay una asíntota vertical en $ x = 0 $ y en $ x = 2 $ ya que la función no está definida en esos puntos y $ f(x) $ tiende a infinito cuando $ x $ se acerca a 0 y 2. Si te animás planteálos límites en comentarios 👇

6.2 Asíntota horizontal:

$ \lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{x} = 0 $

Por lo tanto, la asíntota horizontal es $ y = 0 $.

Respuesta: Dominio: $ \mathbb{R} - \{0, 2\} $

Intervalo de crecimiento: $ (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (4, +\infty) $

Intervalo de decrecimiento: $ (\frac{4}{3}, 2) \cup (2, 4) $

Asíntota vertical: $ x = 0 $ y $ x = 2 $

Asíntota horizontal: $ y = 0 $

Máximo relativo en $ x = \frac{4}{3} $ con coordenada $ \left(\frac{4}{3}, -\frac{9}{2}\right) $

Máximo relativo en $ x = 4 $ con coordenada $ \left(4, -\frac{1}{2}\right) $

El gráfico quedaría así: